骰子的概率(2)公式和计算

(抱歉,因前几日连续出差北京及杭州,白天开会,晚上三陪,无法撰文,现在继续)

前面引子说得长了些,想必已有同学开始不耐烦,要大扔阿卜杜拉鸡蛋了。不要急,马上进入主题。不过,首先我们要做的,是界定我们讨论的范围和条件,即本文所涉及的概率方法均属古典概率范畴。因此,本文后面所讨论的骰子都符合下列假设:是质地均匀的正六面体、每面刻有从一到六的点数、相对两面点数之和为七的中国式的骰子;此种骰子在掷出足够多次数(例如大于10万次)于水平、光滑、坚硬平面上时,其停止后必有一面朝上,且任意一面朝上的机率为1/6。也就是说,本文所讨论的概率均是理想状态下的情形。

好,接下来我们来计算几个基本的情形,当然有同学若是厌烦于计算的过程,直接跳过看附表也可。

①N个骰子掷出后,其中至少有一个骰子点数是指定的某数字(1~6)的概率

这是最基本的情形。我们的计算方式也很基本,先算出N个骰子掷出后所有可能的排列组合数(我们设其为G(N)),然后计算“至少有一个骰子点数是某数”的可能的排列组合数(设之为F(N)),后者除以前者,即得概率P(N)=F(N)/G(N)。

先来看G(N),根据排列组合原理,N个骰子应有6^N(^为次幂表示符号,6^N即6的N次方)种排列组合,即G(N)=6^N。只有1个骰子时,所有排列组合数为G(1)=6^1=6种;有2个骰子时,G(2)=6^2=36;3个、4个和5个骰子时,分别共有216、1296和7776种排列组合可能。(参见附表一之第二列)

再看F(N)。大家注意题目中的“至少”二字,也就是说2个以上骰子的情形时,我们会计入出现1个到N个的同样骰子的概率(比如一共3个骰子,需要掷出至少1个六,我们会把出现1个六、2个六和3个六的情况都计算在内)。本题的解算方法很多,这里介绍简单的一个:先计算本题的否命题,即只出现其他5个数字的所有可能情况数,很简单,是5^(N)。所以用总排列组合数减之即得F(N)=6^(N)-5^(N)。(参见附表一第三列)

所以概率P(N)=F(N)/G(N)=[6^(N)-5^(N)]/[6^N]=1-(5/6)^(N),表一的第四列即列出1个到5个骰子时我们所需要的概率值。

②N个骰子中,至少含有某2个指定数字中的1个的概率

本题的意思是:骰子扔出前玩家先确定两个数字(当然是1到6中的俩个),然后摇骰开盅,里面的骰子中至少有一个骰子点数等于事先确定的两个数字中的一个。本题中,总排列组合数G2(N)仍为6^N;而F2(N)的计算方法同样可参照上题中先计算否命题的方法,这次有F2(N)=6^(N)-4^(N)。概率P2(N)=F2(N)/G2(N)=[6^(N)-4^(N)]/[6^N]=1-(2/3)^(N)。具体不同个数骰子时的概率值参见附表二第四列。

有同学会问,若把本题扩展到“至少含有某2个指定数字中的2个”的情况时概率会怎样呢?即玩家仍先确定两个数字,然后求结果中至少有2个骰子的点数等于该两个数字中的一个的概率。如我们先定下了1和2这两个数字,那么2个骰子中,出现1-1、1-2、2-1、2-2时即符合题意。这个引申题目的计算稍微复杂些,具体结果参见附表二的第五、六列。

③至少有2个骰子点数一样

通俗地说,就是一把骰子里出现至少有一对骰子点数一样的概率。注意它的表述,“至少有一对”就是说随便是什么数字对都可以,对1、对2、对3、对4……都行,而不是“指定的某数字对”(如我们指定一定是对2出现)的概率,其实细心的同学可以发现,后者其实是前者概率的1/6。我们同样运用否命题法,细看可知其为“所有骰子里没有任意2个点数是相同的(即全是所谓散牌)”。这下好算了:F3否(N)=6!/[(6-N)!](!为自然数从自己逐次递减1连乘最后到1的表示符号,如6!=6*5*4*3*2*1,2!=2*1),G3否(N)依然=6^N,所以P3否={6!/[(6-N)!]}/(6^N)。而用100%减去P3否,可得本题所求的概率:P3(N)=1-{6!/[(6-N)!]}/(6^N)。

借用本题的结果,可以得到“至少有2个骰子的点数是指定的某数”的概率:P3(N)除以6即得。(参见附表三)

④至少有3个骰子点数一样

计算方法为6*[C(5,3)*(5^2)+C(5,4)*(5^1)+C(5,5)],结果见附表四。(注:C(n,m)=n!/m!(n-m)!,其中n>=m)

⑤骰子掷出后,所有骰子点数之和的分布情况

参见附表五。具体算法俺就略过了,有兴趣的同学可以自己研究一下。

(未完待续,请继续参看骰子的概率①”色魔”的由来③分析与推论

About Abdallah

abdallah Wang,男,又名小新、阿布、阿香、阿拉伯人、乔治、肉串、肚皮…湛江东海人,双鱼座,20世纪70年代中后期出生于广西北海,其后辗转于湛江、南宁、上海、大连、北京、深圳、香港诸地生活、求学及谋生。SJTUer,电机系出身,IT青年,现居上海。
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  1. 概率学其实也很难逃出可能逻辑的框架。那就是可能性世界多个并存这个原则。公理:我知道一个A 但我未必就知道一个否A。或者说一个可能A 成立的同时可以可能否A也成立。也就是说在投出骰子的时候,一个理论上的概率成立,一个违反此概率的理论也成立。只有到最后骰子定了才能知道是什么。很多时候我们都被概率所迷惑,美国这次飓风就是一个典型例子,他们以为遭到5级以上飓风的概率很小。结果呢全城毁灭。

  2. 同晕,吹牛的基本概率如何计算?即N个抛出,至少有M个为某个点数的概率?(考虑1可以为任意点数)

    • 参看第三篇。不过在fayfay面前,偶这点小伎俩实在不敢拿出来现眼啊,呵呵

  3. 在没有看这个以前我的到骰盅水平是 蛮高的。现在看了你的文章,我估计下次到酒吧去我非喝死不可

  4. 所有骰子点数之和的分布情况的具体算法是什么?有兴趣想知道

  5. 你能不能把第五部分:n个骰子掷出后,所有骰子点数之和的分布情况的算法说一下啊?不甚感激!

    • 全写出来有些累,我把公式列在下面,当作引子您再想想看?

      令S(x, y)为可能性个数,其中x为骰子个数,y为点数总和的值,如在表五中,S(3, 9)=25。

      这时有S(m, n)=∑6[S(m-1, n-1), S(m-1, n-2), …],如S(3, 9)=∑[ S(2,8), S(2,7), S(2,6), S(2,5), S(2,4), S(2,3) ]=5+6+5+4+3+2=25。

      • 谢谢 哦
        只是 如果n的值很大的话,计算量太大了。

      • 前面4种情况的概率分布还能想出来,第五种就想不出来了。不过我倒是知道一种方法(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^n,n是骰子的个数,把这个多项式分解后:ax^n+bx^(n+1)+cx^(n+2)……+dx^(6n),那么骰子点数和为M出现的总次数就是x^M前面的系数,比如点数之和为n+1可能出现的总次数是b。把系数再除以6^n就是概率。不过当n比较大时,分解这个多项式计算量比较大,我是用Matlab算出来的。你的这种方法用C或者其他编程语言就可以算出来了。

  6. 以3个骰子为例,第一问题:它们点数和是单、双数应各占50%,能计算出莲续出现n次单、双数概率值。第二问题:它们点数之和(在3至10范围)莲续出现n次概率值(它们点数之和(在11至18范围)莲续出现n次概率值)谢谢

    • 掷骰子时,上一次和下一次是完全不关联的两个独立事件。故要求N个独立事件中某种结果的概率,只需将该结果在每个事件中的概率连乘即可。所以,对于你所提的两个问题,答案都一样:(1/2)^N。

      • 首先多谢 abdallah。
        最近在网上有这样信息:
        教你去賭場賭”大小”一定贏錢的方法,(當然是”多數”, 運氣很難講的)
        簡介如下:
        假切買(大、小、通殺)的機會率為 (0.48, 0.48, 0.04)
        你只要
        第1盤買$100,
        第2盤買$200,
        第3盤買$400,
        第4盤買$800,
        第5盤買$1600,
        第6盤買$3200,

        第n盤買$100*2(n-1),

        只要贏了一局,就reset,返回第1盤,買$100,
        如果輸了,再買多一倍本金。

        e.g. 如果你連輸5局,你蝕了$3100
        但到你好採第6局買了 $3200, 一賠一,
        結果你就能賺了$100.

        假切你由早到晚,也用這個方法,一百蚊,一百蚊的賺下去,
        條數都幾可觀的。
        如果你將本金乘十,就可以加快賺錢的速度。
        我个人认为这种方法行不通,因为赌场设有上下限金额(100到80000元)n不能大于10。有资料记录,莲续出现大或小超过13次,请问abdallah能否运用概率分布算出賺錢方法(理论上)

        要说明一下,三个骰子点数之和在3至10范围算小,在11至18范围算大,如果3个骰子出现一样点数(围骰)庄家通吃,谢谢

        • 其实不行的,首先第n把赢的时候,你也只赢了100,其次无论是第几把,概率还是50%,没有变化。